首页 > 搜索 > 反弹飞镖的折法,扔飞刀,飞刀旋转着飞出去,为什么在接触靶子的时候正好是刀尖在前面?

反弹飞镖的折法,扔飞刀,飞刀旋转着飞出去,为什么在接触靶子的时候正好是刀尖在前面?

互联网 2021-01-27 14:19:15
在线算命,八字测算命理
抱歉,之前算区间取反了......所以结论有问题,修正了一下

感谢各位的指出

先说结论:大体上就是旋转的够快则刀尖扎进靶子上的概率越大。

这里我们可以把飞刀简化为两个运动的复合。第一个是飞刀的旋转中心保持匀速直线运动:

\cases{ x_0=v_ot \\ y_0=k } \tag1

其中k是常数

刀尖则同时相对于中心做匀速圆周运动,则其运动轨迹方程为:

\cases{ x=v_0t-r\cos(\omega t) \\ y=k-r\sin(\omega t) } \tag2

其中 \omega 是角速度,r是刀尖相对于旋转中心的距离。如果我们只关注x方向(即刀扔出去的方向)显然刀尖和中心的x-t图是类似这样的(横轴是时间t,纵轴是横向距离x):

由于余弦函数的周期性,我们任意取一个周期进行分析即可,在一个周期内是这样的:

(更新:这里说一下为什么从x算概率而不能用t)

刀尖先碰的意义是对某个给定的距离L,刀尖的x-t中第一次满足x=L对应的t小于质量中心的x-t图像第一次满足x=L时对应的t。也就是说刀尖先碰或者后碰取决于从左向右看,直线x=L与那条曲线先相交。

然后我们开始算吧

如下图,绿线表示刀尖的x-t图,蓝色是旋转中心的

为了简化计算,我们:只算第一个周期(严格来说不叫周期,但是根据对称性只算对应余弦函数的一个周期就可以),为了方便我们选第一周期即: \omega t \in(0,2\pi)

那么刀尖先碰的概率就是

\psi=\frac{x(t_C)-x(t_A)}{\frac{2\pi}{\omega}} \tag3

其中 t_C 是极大值点,对(2)求导可知 t_C=\frac{2\pi}{\omega}-\frac{1}{\omega}\arcsin(\frac{v_0}{r\omega})(上一次在这翻车了,忘记了反正弦函数有定义域限制)

t_A 就很容易可以求得: t_A=\frac{\pi}{2\omega}

注意:此时存在前置条件( v_0\leq r\omega

带入化简(3)可以得到刀尖先碰到的概率:

\psi=\frac{3}{4}-\frac{1}{2\pi}(\arcsin\frac{v_0}{r\omega}-\sqrt{\frac{r^2\omega^2}{v_0^2}-1}) \tag4

很明显 \arcsin\frac{v_0}{r\omega}-\sqrt{\frac{r^2\omega^2}{v_0^2}-1}\omega 的减函数,所以 \psi\omega 的增函数。此时,旋转角速度越快则刀尖碰到的概率就越高。

临界条件: \omega=\frac{v_0}{r} 时概率最小,最小值为0.5;

反之,当 \omega 足够大的时候我们会求出来一个>1的概率,这期是是因为碰撞发生在超过一个周期之前的缘故。总而言之,当角速度足够大的时候会必然由刀尖先碰撞靶子。

好了,我们刚刚说有限制条件,那么如果 v_0 \geq r\omega 时呢?

实际上此时 x'(t)=v_0t-r\sin(\omega t)\geq r\omega t-r\sin(\omega t)\geq0

x(t) 是单调递增的,概率就是0.5,都不用算......就像下图

那么我们开始考虑刀柄了

根据一般刀剑的设计原理,刀柄更重以平衡重心便于挥舞,所以刀柄到重心的距离记为R,(R

这种情况下实际上就是x(t)和 \xi(t) 都是单调的,类似于下面这个情况:

不用算,概率是0.5

第二类: R\omegav_0r\omega

这时候刀柄部分的x-t图像是单调的,显然这个情况和我们直接讨论旋转中心时没有区别的,此时: \psi=\frac{x(t_C)-x(t_A)}{\frac{2\pi}{\omega}v_0} \tag6

第三类: v_0R\omega

显然这时候刀尖先碰的取值范围变化了,刀柄部分的极大值也参与进来了:

\psi=\frac{x(t_C)-\xi(t_G)}{\frac{2\pi}{\omega}v_0} \tag7

显然t1和t2分别对应 \xi(t) 和x(t)的极大值:

\cases{ t_G=\frac{1}{\omega}\arcsin(\frac{v_0}{R\omega}) \\ t_C=\frac{2\pi}{\omega}-\frac{1}{\omega}\arcsin(\frac{v_0}{r\omega}) } \tag8

那么结果可以化简为:

\psi=1-\frac{1}{2\pi}[\arcsin(\frac{v_0}{r\omega})-\arcsin(\frac{v_0}{R\omega})]-\frac{1}{2\pi}[\sqrt{\frac{r^2\omega^2}{v_0^2}-1}+\sqrt{\frac{R^2\omega^2}{v_0^2}-1}] \tag9

\mu=\arcsin(\frac{v_0}{r\omega})-\arcsin(\frac{v_0}{R\omega})-\sqrt{\frac{r^2\omega^2}{v_0^2}-1}-\sqrt{\frac{R^2\omega^2}{v_0^2}-1} \tag{10}

则:

\frac{\partial \mu}{\partial \omega}=-\frac{\frac{v_0}{r\omega^2}}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{R^2\omega^2}}} +\frac{\frac{v_0}{R\omega^2}}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{r^2\omega^2}}} -\frac{\frac{r^2 \omega}{v_0^2}}{\sqrt{\frac{r^2\omega^2}{v_0^2}-1}} -\frac{\frac{R^2 \omega}{v_0^2}}{\sqrt{\frac{R^2\omega^2}{v_0^2}-1}} -\frac{\frac{v_0}{r\omega^2}}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{R^2\omega^2}}} +\frac{\frac{v_0}{R\omega^2}}{\sqrt{1-\frac{v_0^2}{r^2\omega^2}}}

通分比较一下就可以发现 \frac{\partial \mu}{\partial \omega}0

显然 \frac{\partial \psi}{\partial \omega}0 ,在临界条件 v_0=R\omega 下退化为公式(6)

因此总的来说就是转的不够快的时候概率是0.5,之后会随着旋转速率的增大而增加刀尖碰到靶子的概率,直到100%刀尖碰撞。

免责声明:非本网注明原创的信息,皆为程序自动获取互联网,目的在于传递更多信息,并不代表本网赞同其观点和对其真实性负责;如此页面有侵犯到您的权益,请给站长发送邮件,并提供相关证明(版权证明、身份证正反面、侵权链接),站长将在收到邮件12小时内删除。

相关阅读