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第一类不定积分算法,一类常见不定积分的一般形式结果

互联网 2020-10-22 14:09:51
在线算命,八字测算命理

考虑一个不定积分问题

\int {{x^n}\sin \left( {ax + b} \right)dx}

这是一个含有三个变量的问题,我们考虑用归纳的思想。

f\left( n \right) = \int {{x^n}\sin \left( {ax + b} \right)dx}

两次利用分布积分公式,可以得到关于 n 的递归公式:

f\left( n \right) = {{{a^2}} \over {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}f(n + 2) + {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}}\sin \left( {ax + b} \right) - {a \over {\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\cos \left( {ax + b} \right){x^{n + 2}}

将 上式的 f(n) 中的 n 分别替换为 n-1n-2 ,可以得到如下的表达式:

\left\{ \matrix{ f(n + 2) = {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over {{a^2}}}f(n) - {{n + 2} \over {{a^2}}}{x^{n + 1}}\sin \left( {ax + b} \right) + {{\cos \left( {ax + b} \right){x^{n + 2}}} \over a} \hfill \crf(n) = {{\left( {n - 1} \right)n} \over {{a^2}}}f(n - 2) - {n \over {{a^2}}}{x^{n - 1}}\sin \left( {ax + b} \right) + {{\cos \left( {ax + b} \right){x^n}} \over a} \hfill \crf(n - 2) = {{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)} \over {{a^2}}}f(n - 4) - {{n - 2} \over {{a^2}}}{x^{n - 3}}\sin \left( {ax + b} \right) + {{\cos \left( {ax + b} \right){x^{n - 2}}} \over a} \hfill \cr................... \hfill \cr}\right.

所以 递归公式可以进一步的化为:

\eqalign{ & f(n + 2) = {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)} \over {{a^6}}}f(n - 4) - \cr& {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)} \over {{a^6}}}{x^{n - 3}}\sin \left( {ax + b} \right) + {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)n\left( {n - 1} \right)\cos \left( {ax + b} \right){x^{n - 2}}} \over {{a^5}}}\cr&- {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)n} \over {{a^4}}}{x^{n - 1}}\sin \left( {ax + b} \right) + {{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\cos \left( {ax + b} \right){x^n}} \over {{a^3}}}\cr&- {{n + 2} \over {{a^2}}}{x^{n + 1}}\sin \left( {ax + b} \right) + {{\cos \left( {ax + b} \right){x^{n + 2}}} \over a} \cr}

继续对 n-4 进行替换,这样一直做下去,可以归纳得到:

\eqalign{ & f(n + 2) = {{\left( {n + 2} \right)!} \over {{a^{n + 2}}}}f(0) - \sum\limits_{k = 2,2}^n {{{(n + 2)(n + 1)...(n + 4 - k)} \over {{a^k}}}} {x^{n + 3 - k}}\sin \left( {ax + b} \right)\cr&+ \sum\limits_{k = 1,2}^n {{{(n + 2)(n + 1)...(n + 4 - k)} \over {{a^k}}}} {x^{n + 3 - k}}\cos \left( {ax + b} \right) \cr}

进一步的,对上式进行适当的化简,可以得到:

\eqalign{ & f(n) = {{\left( {n + 2} \right)!} \over {{a^{n + 2}}}}f(0) + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}{{(n + 2)(n + 1)...(n + 4 - k)} \over {{a^k}}}} {x^{n + 3 - k}}\sin \left( {ax + b - {k \over 2}\pi } \right)\cr&= {{n!} \over {{a^n}}}f(0) + \sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}{{n(n - 1)...(n + 2 - k)} \over {{a^k}}}} {x^{n + 1 - k}}\sin \left( {ax + b - {k \over 2}\pi } \right)\cr&= {{n!} \over {{a^n}}}f(0) + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{{\left( { - 1} \right)}^k}{{n(n - 1)...(n + 1 - k)} \over {{a^{k + 1}}}}} {x^{n - k}}\sin \left( {ax + b - {{k + 1} \over 2}\pi } \right)\cr&= \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k}{{n(n - 1)...(n + 1 - k)} \over {{a^{k + 1}}}}} {x^{n - k}}\sin \left( {ax + b - {{k + 1} \over 2}\pi } \right) \cr}

这样就得到了含参不定积分的结果。

当然,很容易通过数学归纳法等证明所得到的的归纳结果的正确性,这里略去。

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