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非负矩阵分解算法分型,文本主题模型之非负矩阵分解(NMF)

互联网 2020-10-27 12:22:13
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在文本主题模型之潜在语义索引(LSI)中,我们讲到LSI主题模型使用了奇异值分解,面临着高维度计算量太大的问题。这里我们就介绍另一种基于矩阵分解的主题模型:非负矩阵分解(NMF),它同样使用了矩阵分解,但是计算量和处理速度则比LSI快,它是怎么做到的呢?

1. 非负矩阵分解(NMF)概述

非负矩阵分解(non-negative matrix factorization,以下简称NMF)是一种非常常用的矩阵分解方法,它可以适用于很多领域,比如图像特征识别,语音识别等,这里我们会主要关注于它在文本主题模型里的运用。

回顾奇异值分解,它会将一个矩阵分解为三个矩阵:$$A = U\Sigma V^T$$

如果降维到$k$维,则表达式为:$$A_{m \times n} \approx U_{m \times k}\Sigma_{k \times k} V^T_{k \times n}$$

但是NMF虽然也是矩阵分解,它却使用了不同的思路,它的目标是期望将矩阵分解为两个矩阵:$$A_{m \times n} \approx  W_{m \times k}H_{k \times n}$$

分解成两个矩阵是不是一定就比SVD省时呢?这里的理论不深究,但是NMF的确比SVD快。不过如果大家读过我写的矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用,就会发现里面的FunkSVD所用的算法思路和NMF基本是一致的,只不过FunkSVD聚焦于推荐算法而已。

那么如何可以找到这样的矩阵呢?这就涉及到NMF的优化思路了。

2. NMF的优化思路

 NMF期望找到这样的两个矩阵$W,H$,使$WH$的矩阵乘积得到的矩阵对应的每个位置的值和原矩阵$A$对应位置的值相比误差尽可能的小。用数学的语言表示就是:$$\underbrace{arg\;min}_{W,H}\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}(A_{ij}-(WH)_{ij})^2$$

如果完全用矩阵表示,则为:$$\underbrace{arg\;min}_{W,H}\frac{1}{2}||A-WH||_{Fro}^2$$

其中,$ ||*||_{Fro}$为Frobenius范数。

当然对于这个式子,我们也可以加上L1和L2的正则化项如下:

$$\underbrace{arg\;min}_{W,H}\frac{1}{2}||A-WH||_{Fro}^2 +\alpha\rho|| W||_1+\alpha\rho|| H||_1+\frac{\alpha(1-\rho)}{2}|| W||_{Fro}^2 + \frac{\alpha(1-\rho)}{2}|| H||_{Fro}^2$$

其中,$\alpha$为L1&L2正则化参数,而$\rho$为L1正则化占总正则化项的比例。$||*||_1$为L1范数。

我们要求解的有$m*k + k*n$个参数。参数不少,常用的迭代方法有梯度下降法和拟牛顿法。不过如果我们决定加上了L1正则化的话就不能用梯度下降和拟牛顿法了。此时可以用坐标轴下降法或者最小角回归法来求解。scikit-learn中NMF的库目前是使用坐标轴下降法来求解的,,即在迭代时,一次固定$m*k + k*n-1$个参数,仅仅最优化一个参数。这里对优化求$W,H$的过程就不再写了,如果大家对坐标轴下降法不熟悉,参看之前写的这一篇Lasso回归算法: 坐标轴下降法与最小角回归法小结。

3. NMF 用于文本主题模型

回到我们本文的主题,NMF矩阵分解如何运用到我们的主题模型呢?

此时NMF可以这样解释:我们输入的有m个文本,n个词,而$A_{ij}$对应第i个文本的第j个词的特征值,这里最常用的是基于预处理后的标准化TF-IDF值。k是我们假设的主题数,一般要比文本数少。NMF分解后,$W_{ik}$对应第i个文本的和第k个主题的概率相关度,而$H_{kj}$对应第j个词和第k个主题的概率相关度。

当然也可以反过来去解释:我们输入的有m个词,n个文本,而$A_{ij}$对应第i个词的第j个文本的特征值,这里最常用的是基于预处理后的标准化TF-IDF值。k是我们假设的主题数,一般要比文本数少。NMF分解后,$W_{ik}$对应第i个词的和第k个主题的概率相关度,而$H_{kj}$对应第j个文本和第k个主题的概率相关度。

注意到这里我们使用的是"概率相关度",这是因为我们使用的是"非负"的矩阵分解,这样我们的$W,H$矩阵值的大小可以用概率值的角度去看。从而可以得到文本和主题的概率分布关系。第二种解释用一个图来表示如下:

 和LSI相比,我们不光得到了文本和主题的关系,还得到了直观的概率解释,同时分解速度也不错。当然NMF由于是两个矩阵,相比LSI的三矩阵,NMF不能解决词和词义的相关度问题。这是一个小小的代价。

4. scikit-learn NMF的使用

在 scikit-learn中,NMF在sklearn.decomposition.NMF包中,它支持L1和L2的正则化,而$W,H$的求解使用坐标轴下降法来实现。

NMF需要注意的参数有:

1) n_components:即我们的主题数k, 选择k值需要一些对于要分析文本主题大概的先验知识。可以多选择几组k的值进行NMF,然后对结果人为的进行一些验证。

2) init : 用于帮我们选择$W,H$迭代初值的算法, 默认是None,即自动选择值,不使用选择初值的算法。如果我们对收敛速度不满意,才需要关注这个值,从scikit-learn提供的算法中选择一个合适的初值选取算法。

3)alpha: 即我们第三节中的正则化参数$\alpha$,需要调参。开始建议选择一个比较小的值,如果发现效果不好在调参增大。

4) l1_ratio:即我们第三节中的正则化参数$\rho$,L1正则化的比例,仅在$\alpha>0$时有效,需要调参。开始建议不使用,即用默认值0, 如果对L2的正则化不满意再加上L1正则化。

从上面可见,使用NMF的关键参数在于主题数的选择n_components和正则化的两个超参数$\alpha,\rho$。

此外,$W$矩阵一般在调用fit_transform方法的返回值里获得,而$H$矩阵则保存在NMF类的components_成员中。

下面我们给一个例子,我们有4个词,5个文本组成的矩阵,需要找出这些文本和隐含的两个主题之间的关系。代码如下:

完整代码参见我的github:https://github.com/ljpzzz/machinelearning/blob/master/natural-language-processing/nmf.ipynb

import numpy as npX = np.array([[1,1,5,2,3], [0,6,2,1,1], [3, 4,0,3,1], [4, 1,5,6,3]])from sklearn.decomposition import NMFmodel = NMF(n_components=2, alpha=0.01)

现在我们看看分解得到的$W,H$:

W = model.fit_transform(X)H = model.components_print Wprint H

结果如下:

[[ 1.673711850.02013017] [ 0.405648262.17004352] [ 0.776278361.5179425 ] [ 2.669917090.00940262]][[ 1.320144210.409015592.103227431.990870191.29852389] [ 0.258590862.599117910.004889470.370891930.14622829]]

从结果可以看出, 第1,3,4,5个文本和第一个隐含主题更相关,而第二个文本与第二个隐含主题更加相关。如果需要下一个结论,我们可以说,第1,3,4,5个文本属于第一个隐含主题,而第二个问题属于第2个隐含主题。

5. NMF的其他应用

虽然我们是在主题模型里介绍的NMF,但实际上NMF的适用领域很广,除了我们上面说的图像处理,语音处理,还包括信号处理与医药工程等,是一个普适的方法。在这些领域使用NMF的关键在于将NMF套入一个合适的模型,使得$W,H$矩阵都可以有明确的意义。这里给一个图展示NMF在做语音处理时的情形:

 

6. NMF主题模型小结

NMF作为一个漂亮的矩阵分解方法,它可以很好的用于主题模型,并且使主题的结果有基于概率分布的解释性。但是NMF以及它的变种pLSA虽然可以从概率的角度解释了主题模型,却都只能对训练样本中的文本进行主题识别,而对不在样本中的文本是无法识别其主题的。根本原因在于NMF与pLSA这类主题模型方法没有考虑主题概率分布的先验知识,比如文本中出现体育主题的概率肯定比哲学主题的概率要高,这点来源于我们的先验知识,但是无法告诉NMF主题模型。而LDA主题模型则考虑到了这一问题,目前来说,绝大多数的文本主题模型都是使用LDA以及其变体。下一篇我们就来讨论LDA主题模型。

 

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